Question

f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f′（x）cosx＜f（x）sinx，則不等式f（x）cosx＞0的解集是（　�。�

• A、[-3，0）
• B、[-3，-

  π

  2

  ）∪（0，

  π

  2

  ）
• C、[-3，-

  π

  2

  ）∪（

  π

  2

  ，3]
• D、（-

  π

  2

  ，0）∪（

  π

  2

  ，3]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解不等式即可．

解答： 解：設(shè)F（x）=f（x）cosx，則F′（x）=[f（x）cosx]′=f′（x）cosx-f（x）sinx，
∵x＞0時(shí)，f′（x）cosx＜f（x）sinx，
∴x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=[f（x）cosx]′=f′（x）cosx-f（x）sinx＜0，
即函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，
∵f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，
∴F（x）=[f（x）cosx是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，且F（0）=[f（0）cos0=0，
∴f（x）cosx是定義在[-3，3]上的單調(diào)遞減，
則不等式f（x）cosx＞0等價(jià)為F（0）＞0，
即x＜0，
∵x∈[-3，3]，
∴x∈[-3，0）
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，條件結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．