Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{cos2x（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得cosx-sinx≠0，解三角不等式可得函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）化簡可得f（x）=sin2x+1，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$結(jié)合定義域可得單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得cosx-sinx≠0，
即tanx≠1，解得x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}；
（Ⅱ）化簡可得f（x）=$\frac{cos2x（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$=$\frac{（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$
=（cosx+sinx）²=sin2x+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
又x≠kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$）k∈Z

點評 本題考查三角函數(shù)的定義域和單調(diào)性，涉及三角函數(shù)公式的化簡運算，屬基礎(chǔ)題．