Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2．
（1）M是AB上一點，且AM=

3

3

，F(xiàn)是PC上一點，則當

PF

FC

為何值時，BF∥平面PDM？
（2）E為PD的中點，在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥平面PAC，并求NE與平面PAD所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）當

PF

FC

=2時，BF∥平面PDM．F作FG∥PD，交CD于G，則CG=

1

2

GD，連結(jié)BG，得四邊形BMDG這平行四邊形，由此能證明BF∥平面PDM．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出NE與平面PAD所成角．

解答： 解：（1）當

PF

FC

=2時，BF∥平面PDM．
證明如下：
F作FG∥PD，交CD于G，則CG=

1

2

GD，連結(jié)BG，
∵AB

∥

.

CD，AM=

1

2

MB，
∴BM

∥

.

DC，即四邊形BMDG這平行四邊形，∴BG∥DM，
∴平面BFG∥平面PDM，
∵BF?平面BFG，∴BF∥平面PDM．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（

3

，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，

1

2

，1），
則

AP

=(0，0，2)，

AC

=（

3

，1，0），
由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，
故設(shè)N（x，z），則

NE

=（-x，

1

2

，1-z），
由NE⊥平面PAC，得

NE • AP =z-1=0 NE • AC =- 3 x+ 1 2 =0

，
∴

NE

=（-

3

6

，

1

2

，0），
∵平面PAD的一個法向量

n

=(1，0，0)，
∴|cos＜

NE

，

n

＞|=

|- 3 6 |

3 3

=

1

2

，
設(shè)NE與平面PAD所成角為θ，
則sinθ=

1

2

，∴θ=

π

6

，
∴NE與平面PAD所成角為

π

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成的角的大小，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．