Question

在橢圓中，稱過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦為橢圓的“通徑”．已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其離心率為

1

2

，通徑長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖所示，過點F₁的直線與橢圓交于A、B兩點，I₁、I₂分別為△F₁BF₂、△F₁AF₂的內(nèi)心，延長BF₂與橢圓交于點M，求四邊形F₁I₂F₂I₁的面積與△AF₂B的面積的比值；
（3）在x軸上是否存在定點P，使得

PM

•

PB

為定值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意可知：e=

c

a

=

1

2

，通徑為2

b2

a

=3，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由于I₁、I₂分別為△F₁BF₂、△F₁AF₂的內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)心的性質和等面積法，得點△F₁BF₂內(nèi)切圓的半徑r1=

S△F1BF2

1 2 (F1B+F1F2+F2B)

=

S△F1BF2

a+c

，點△F₁AF₂內(nèi)切圓的半徑r2=

S△F1AF2

1 2 (F1B+F1F2+F2B)

=

S△F1AF2

a+c

，由此能求出四邊形F₁I₂F₂I₁的面積與△AF₂B的面積的比值．
（3）若存在點P，使得

PM

，

PB

為定值，設點P（x₀，0），l_BM的方程為y=k（x-1），聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出

PM

•

PB

為定值-

135

64

．

解答： 解：（1）由題意可知：e=

c

a

=

1

2

，通徑為2

b2

a

=3，
解得：a=2，b=

3

故橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．（3分）
（2）由于I₁、I₂分別為△F₁BF₂、△F₁AF₂的內(nèi)心，
根據(jù)內(nèi)心的性質和等面積法可知：
點△F₁BF₂內(nèi)切圓的半徑r1=

S△F1BF2

1 2 (F1B+F1F2+F2B)

=

S△F1BF2

a+c

，
同理可得：點△F₁AF₂內(nèi)切圓的半徑：
r2=

S△F1AF2

1 2 (F1B+F1F2+F2B)

=

S△F1AF2

a+c

，（5分）
∴四邊形F₁I₂F₂I₁的面積與△AF₂B的面積的比值：

SF1I2F1I1

S△AF1B

=

SF1I1F2+SF1I2F2

S△F1BE+S△F1AF2

=

1 2 (r1+r2)•2c

S△F1BF1+S△F1AF2

=

c

a+c

=

1

3

．
（3）若存在點P，使得

PM

，

PB

為定值，設點P（x₀，0），
若直線BM的斜率不存在，l_BM的方程為：x=1，B（1，

3

2

），M（1，-

3

2

），
則

PM

•

PB

=（x₀-1）²-

9

4

，
若直線BM的斜率存在，l_BM的方程為y=k（x-1），
點B（x₁，y₁），點M（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
根據(jù)韋達定理可得：x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
由于

PM

=(x2-x0，y2)，

PB

=(x1-x0，y1)
則

PM

•

PB

=x1x2-(x1+x2)x0+

x

2 0

+y1y2=(k2+1)x1x2-(x0+k2)(x1+x2)+k2+

x

2 0

，
整理可得：

(4 x 2 0 -8x0-5)k2+3 x 2 0 -12

4k2+3

=λ（λ為常數(shù)），（10分）
則(4

x

2 0

-8x0-5-4λ)k2+3

x

2 0

-12-3λ=0對?k∈R恒成立，
故

4x02-8x0-5-4λ=0 3x02-12-3λ=0

，解得

x0= 11 8 λ=- 135 64

，（12分）
經(jīng)驗證直線BM的斜率不存在時，

PM

•

PB

=（x₀-1）²-

9

4

=-

135

64

，
∴存在點P（

11

8

，0），使得

PM

•

PB

=（x0-1 ）²-

9

4

=-

135

64

，
∴存在點P（

11

8

，0），使得

PM

•

PB

為定值-

135

64

．（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查四邊形與三角形面積比值的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．