Question

5．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點、x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知點P（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）在直線l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0（a∈R）上．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程．
（Ⅱ）若點A在直線l上，點B在曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）上，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）點P（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）在直線l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0（a∈R）上，可得$\sqrt{2}$$（cos\frac{7π}{4}+2sin\frac{7π}{4}）$+a=0，解得a．再把極坐標化為直角坐標方程即可得出．
（Ⅱ）由題知，對于某點$B（x，\frac{1}{4}{x^2}）$，當BA⊥l時，|AB|最小，此時|AB|=$\frac{|x+\frac{1}{2}{x}^{2}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}$，利用二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點P（$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）在直線l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0（a∈R）上，
∴$\sqrt{2}$$（cos\frac{7π}{4}+2sin\frac{7π}{4}）$+a=0，
化為$\sqrt{2}$×$（\frac{\sqrt{2}}{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}）$+a=0，解得a=1．
∴直線l：ρcosθ+2ρcosθ+a=0即為：ρcosθ+2ρcosθ+1=0，
可得直角坐標方程：x+2y+1=0．
（Ⅱ）由題知，對于某點$B（x，\frac{1}{4}{x^2}）$，
當BA⊥l時，|AB|最小，
此時|AB|=$\frac{|x+\frac{1}{2}{x}^{2}+1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}$$≥\frac{1}{2\sqrt{5}}$，
∴|AB|的最小值為$\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程互化、點到直線的距離公式、二次函數(shù)的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．