Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交與兩點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)與垂直的直線交直線于點(diǎn)，若為等邊三角形，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或．

【解析】

試題分析：（1），以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積，和可解得和，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，并且得到AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，并表示過(guò)線段的中點(diǎn)與垂直的直線，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若為等邊三角形，那么,求得斜率，得到直線方程.

試題解析：（1）依題意，可得，得，

所以所求橢圓的方程為；

（2）直線的方程為，聯(lián)立方程組，

消去并整理得，

設(shè)，得，

所以，

設(shè)的中點(diǎn)，得，

得直線的斜率為，又，

所以，

當(dāng)為正三角形時(shí)，，即，

解得，即直線的方程為或．