Question

已知A、B兩地相距200千米，一只船從A地逆水到B地，水速為8千米/小時，船在靜水中的速度為ν千米/小時（8＜v≤v₀）．若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當ν=12千米/小時，每小時的燃油費為720元，為了使全程燃油費最省，船的實際速度應(yīng)為多少？

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)出正比例函數(shù)L=kv²，代入v=12，L=720，求出k，即可得到L與v的關(guān)系式；確定函數(shù)解析式，利用單調(diào)求最值，從而可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)每小時的燃料費為y₁，比例系數(shù)為k（k＞0），則y1=kv2；1分
當v=12時，y₁=720，即720=k•12²，解得k=5，∴y₁=5v²； 3分
設(shè)全程燃料費為y，依題意得
y=y₁•

200

v-8

=

1000v2

v-8

=1000（v+8+

64

v-8

）=1000（v-8+

64

v-8

+16）≥1000（2

(v-8)• 64 v-8

+16）=32000，6分
當v-8=

64

v-8

，即v=16時取等號；
∵8＜v≤v₀，∴當v_°≥16時，即v=16，全程燃料費最省；   9分
當v_°＜16時，令t=v-8+

64

v-8

，
任取8＜v₁＜v₂≤v₀，則0＜v₁-8＜8，0＜v₂＜8，
∴1-

64

(v1-8)(v2-8)

＜0，
∴t₁-t₂=（v₁-v₂）（1-

64

(v1-8)(v2-8)

）＞0，
即t=v-8+

64

v-8

在（8，v_°]上為減函數(shù)，當v=v₀時，y取最小值

1000v02

v0-8

；   13分
綜上：當v_°≥16時，v=16km/h，實際船速為8km/h，全程燃料費最省，為32000元，
當v_°＜16時，令v=v₀，實際船速為（v₀-8）km/h時，全程燃料費最省，為

1000v02

v0-8

元.14分．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)的單調(diào)性以及分析問題、解決問題的能力，是中檔題．