Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₄=5，S₉=54．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式與S_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$$\frac{2}{n（n+3）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₄=5，S₉=54，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=5}\\{9{a}_{1}+\frac{9×8}{2}d=54}\end{array}\right.$，d=1，a₁=2．
∴a_n=2+n-1=n+1，
S_n=$\frac{n（n+3）}{2}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$$\frac{2}{n（n+3）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和=$（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{6}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}）$
=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+1}-$$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$
=$\frac{11}{6}$-$\frac{1}{n+1}-$$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．