Question

4．某校為了選拔學(xué)生參加體育比賽，對(duì)5名學(xué)生的體能和心理進(jìn)行了測(cè)評(píng)，成績(jī)（單位：分）如下表：

學(xué)生編號(hào)i	1	2	3	4	5
體能成績(jī)x	80	75	70	65	60
心理成績(jī)y	70	66	68	64	62

（1）在本次測(cè)評(píng)中，規(guī)定體能成績(jī)70分以上（含70分）且心理成績(jī)65分以上（含65分）為優(yōu)秀成績(jī)，從這5名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，設(shè)X表示成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）假設(shè)學(xué)生的體能成績(jī)和心理成績(jī)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表利用最小二乘法，求y與x的回歸直線(xiàn)方程，（參考數(shù)據(jù)：$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_iy_i=23190，$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_i²=24750）．

Answer 1

分析 （1）由題意得1號(hào)學(xué)生、2號(hào)學(xué)生、3號(hào)學(xué)生為優(yōu)秀成績(jī)，另外兩名學(xué)生不是優(yōu)秀成績(jī)，從而得到X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）利用最小二乘法分別求出$\widehat$，$\widehat{a}$，由此能求出y與x的回歸直線(xiàn)方程．

解答 解：（1）由題意得1號(hào)學(xué)生、2號(hào)學(xué)生、3號(hào)學(xué)生為優(yōu)秀成績(jī)，另外兩名學(xué)生不是優(yōu)秀成績(jī)，
從而得到X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{3}{10}$

EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{6}{10}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．
（2）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（80+75+70+65+60）=70，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（70+66+68+64+62）=66，
$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_iy_i=23190，$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_i²=24750，
∴$\widehat$=（$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$-5$\overline{x}\overline{y}$）÷（$\sum_{n=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}$）
=$\frac{23190-5×70×66}{24750-5×7{0}^{2}}$
=$\frac{90}{250}$=0.36，
$\widehat{a}$=$\overline{y}-\widehat\overline{x}$=66-0.36×70=40.8，
∴y與x的回歸直線(xiàn)方程為$\widehat{y}$=0.36x+40.8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查回歸直線(xiàn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意最小二乘法的合理運(yùn)用．