Question

4．已知拋物線C頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線C上一點Q（a，2）到焦點的距離為3，線段AB的兩端點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在拋物線C上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若y軸上存在一點M（0，m）（m＞0），使線段AB經(jīng)過點M時，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，求m的值；
（3）在拋物線C上存在點D（x₃，y₃），滿足x₃＜x₁＜x₂，若△ABD是以角A為直角的等腰直角三角形，求△ABD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義，丨QF丨=丨QQ₁丨，即可求得p的值，即可求得拋物線方程；
（2）設AB的方程，代入橢圓方程，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算及韋達定理，即可求得m的值；
（3）由直線的點斜式方程，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，即可求得x₂=-x₁+4k，根據(jù)弦長公式，由丨AB丨=丨AD丨，即可求得x₁=k-$\frac{1}{k}$，根據(jù)三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△ABD面積的最小值．

解答 解：（1）設拋物線的C方程x²=2py（p＞0），則焦點F（0，$\frac{p}{2}$），準線方程：y=-$\frac{p}{2}$，
過點Q向準線l作垂線，垂足為Q₁，
由拋物線的定義可得：丨QF丨=丨QQ₁丨，
∴2-（-$\frac{p}{2}$）=3，p=2，
∴拋物線方程：x²=4y；
（2）設直線AB的方程：y=kx+m，則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-4m=0，
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
由AB為直徑的圓經(jīng)過原點，則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
則x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
∴（1+k²）×（-4m）+km×4k+m²=0，整理得m²-4m=0，解得：m=4或m=0，
由m＞0，則m=4，
∴m的值4；
（3）設直線AB的斜率為k，k＞0，其方程y-y₁=k（x-x₁），即y=kx+y₁-kx₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+{y}_{1}-k{x}_{1}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx+4kx₁-4y₁=0，
∴x₁+x₂=4k，x₂=-x₁+4k，
丨AB丨²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
=（1+k²）[（4k）²-4x₁（-x₁+4k）]，
=4（1+k²）（x₁²-4kx₁+4k²），
同理丨AD丨=4[1+（-$\frac{1}{k}$）²][x₁²-4（-$\frac{1}{k}$）x₁+4（-$\frac{1}{k}$）²]，
=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（x₁²+$\frac{4}{k}$x₁+$\frac{4}{{k}^{2}}$），
由丨AB丨=丨AD丨，則丨AB丨²=丨AD丨²，4（1+k²）（x₁²-4kx₁+4k²），=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（x₁²+$\frac{4}{k}$x₁+$\frac{4}{{k}^{2}}$），
整理得：x₁=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$=k-$\frac{1}{k}$，
則丨AB丨²=4（1+k²）[（k-$\frac{1}{k}$）²-4k（k-$\frac{1}{k}$）+4k²]=4（1+k²）（k+$\frac{1}{k}$）²，丨AB丨=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$（k+$\frac{1}{k}$），
丨AD丨²=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）[（k-$\frac{1}{k}$）²+$\frac{4}{k}$（k-$\frac{1}{k}$）+$\frac{4}{{k}^{2}}$]4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）（k+$\frac{1}{k}$）²，丨AD丨=2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$（k+$\frac{1}{k}$），
∴△ABD面積S=$\frac{1}{2}$×丨AB丨×丨AD丨=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{1+{k}^{2}}$（k+$\frac{1}{k}$）×2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$（k+$\frac{1}{k}$），
=$\frac{2（1+{k}^{2}）（k+\frac{1}{k}）^{2}}{k}$=2（k+$\frac{1}{k}$）³≥2（2$\sqrt{k×\frac{1}{k}}$）³=16，
當且僅當k=$\frac{1}{k}$時，即k²=1，即k=1，取等號，
∴△ABD面積的最小值16．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．