Question

19．揚(yáng)州瘦西湖隧道長(zhǎng)3600米，設(shè)汽車通過(guò)隧道的速度為x米/秒（0＜x＜17）．根據(jù)安全和車流的需要，當(dāng)0＜x≤6時(shí)，相鄰兩車之間的安全距離d為（x+b）米；當(dāng)6＜x＜17時(shí)，相鄰兩車之間的安全距離d為$（\frac{a}{6}{x^2}+\frac{x}{3}+2）$米（其中a，b是常數(shù)）．當(dāng)x=6時(shí)，d=10，當(dāng)x=16時(shí)，d=50．
（1）求a，b的值；
（2）一列由13輛汽車組成的車隊(duì)勻速通過(guò)該隧道（第一輛汽車車身長(zhǎng)為6米，其余汽車車身長(zhǎng)為5米，每輛汽車速度均相同）．記從第一輛汽車車頭進(jìn)入隧道，至第13輛汽車車尾離開(kāi)隧道所用的時(shí)間為y秒．
①將y表示為x的函數(shù)；
②要使車隊(duì)通過(guò)隧道的時(shí)間y不超過(guò)280秒，求汽車速度x的范圍．

Answer 1

分析 （1）分別代入x=6和x=16，由此能求出a，b的值．
（2）①分別求出當(dāng)0＜x≤6和6＜x＜17時(shí)，函數(shù)的表達(dá)式，由此能將y表示為x的函數(shù)．
②推導(dǎo)出0＜x≤6時(shí)，不符合題意，當(dāng)6＜x＜17時(shí)，$y=\frac{{2{x^2}+4x+3690}}{x}≤280$，由此能求出汽車速度x的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x=6時(shí)，d=x+b=6+b=10，則b=4，
當(dāng)x=16時(shí)，$d=\frac{a}{6}{x^2}+\frac{x}{3}+2=\frac{a}{6}×{16^2}+\frac{16}{3}+2=50$，則a=1；
所以a=1，b=4．…（4分）
（2）①當(dāng)0＜x≤6時(shí)，$y=\frac{6+5×12+12（x+4）+3600}{x}=\frac{3714+12x}{x}$，
當(dāng)6＜x＜17時(shí)，$y=\frac{{6+5×12+12（\frac{1}{6}{x^2}+\frac{x}{3}+2）+3600}}{x}=\frac{{2{x^2}+4x+3690}}{x}$
所以$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{3714+12x}{x}，0＜x≤6\\ \frac{{2{x^2}+4x+3690}}{x}，6＜x＜17\end{array}\right.$．…（10分）
②當(dāng)0＜x≤6時(shí)，${y_{min}}=\frac{3714+12×6}{6}＞280$，不符合題意，
當(dāng)6＜x＜17時(shí)，$y=\frac{{2{x^2}+4x+3690}}{x}≤280$
解得15≤x＜123，所以15≤x＜17
∴汽車速度x的范圍為[15，17）．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)關(guān)系式的求法，考查汽車速度的范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)在生產(chǎn)、生活中的實(shí)際運(yùn)用．