Question

 

如圖，已知E，F分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點，EF與AC交于點O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA＝AB＝4，NC＝2，M是線段PA上的一動點．

(1)求證：平面PAC⊥平面NEF；

(2)若PC∥ 平面MEF，試求PM∶MA的值；

(3)當M的是PA中點時，求二面角M－EF－N的余弦值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：法1：（1）連結，

∵平面，平面，

∴，……………………… 1分

又∵，，

∴平面，…………………. 2分

又∵，分別是、的中點，

∴，………………………….3分

∴平面，又平面，

∴平面平面；……………4分

（2）連結，

∵平面，平面平面，

∴，

∴，故 ………………………………………8分

（3）∵平面，平面，∴，

在等腰三角形中，點為的中點，∴，

∴為所求二面角的平面角， ……………………………9分

∵點是的中點，∴，

所以在矩形中，

可求得，，，………………………10分

在中，由余弦定理可求得，

∴二面角的余弦值為．……………………………………12分

法2：（1）同法1；

（2）建立如圖所示的直角坐標系，則，，，，

∴，，

設點的坐標為，平面的法向量為，則，

    所以，即，令，則，，

故，

∵平面，∴，即，解得，

故，即點為線段上靠近的四等分點；

故 …………………………………………………………………8分

（3），則，設平面的法向量為，

則，即，………9分

令，則，，

即，……………………………10分

當是中點時，，

則，

∴，

∴二面角的余弦值為．……12分