Question

已知拋物線y²=6x，過(guò)點(diǎn)P(4，1)引一弦，使它恰在點(diǎn)P被平分，求這條弦所在的直線方程.

Answer 1

解法一:設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，弦的兩個(gè)端點(diǎn)為P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂).

∵P₁、P₂在拋物線上，∴y₁²=6x₁,y₂²=6x₂.

兩式相減得(y₁+y₂)(y₁-y₂)=6(x₁-x₂).①

∵y₁+y₂=2,代入①得.

∴直線的方程為y-1=3(x-4),

即3x-y-11=0.

解法二:設(shè)所求方程為y-1=k(x-4).

由方程組

得ky²-6y-24k+6=0.

設(shè)弦的兩端點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)分別是(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，

則

∵Ｐ₁Ｐ₂的中點(diǎn)為(4，1),∴.∴k=3.

∴所求直線方程為y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0?

啟示:解法一是求與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題常用的“作差法”，設(shè)點(diǎn)、作差、找斜率是重要的解題技巧.解法二沒有求出P₁、P₂的坐標(biāo)，而是運(yùn)用韋達(dá)定理直接寫出P₁P₂的中點(diǎn)坐標(biāo)，這也是解題中常用的方法.一般求出直線方程后，把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，組成方程組看方程組是否有兩解，有兩解時(shí)求出的直線方程為所求直線方程，否則所求直線方程不存在.本例中的點(diǎn)P(4，1)在拋物線的張口內(nèi)，不存在上述問(wèn)題.