Question

（2013•深圳二模）已知數(shù)列{a_n}，{b_n} 滿足：a₁=0，b₁=2013，且對(duì)任意的正整數(shù) n，a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數(shù)列．
（1）求 a₂，b₂的值；
（2）證明：{a_n-b_n}和{a_n+2b_n} 均成等比數(shù)列；
（3）是否存在唯一的正整數(shù) c，使得 a_n＜c＜b_n恒成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用等差中項(xiàng)公式即可求得a₂，b₂；
（2）由a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數(shù)列，得

an+1= an+bn 2 bn+1= an+1+bn 2

即

an+1= 1 2 an+ 1 2 bn…① bn+1= 1 4 an+ 3 4 bn…②

，只證

an+1-bn+1

an-bn

為常數(shù)即可，把①②代入該式即可證得；同理把①②代入

an+1+2bn+1

an+2bn

可證得為常數(shù)，注意驗(yàn)證其首項(xiàng)不為0；
（3）由（2）得

an+2bn=4026 an-bn=- 2013 4n-1

，解得

an=1342- 1342 4n-1 bn=1342+ 671 4n-1

，易判斷{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，且a_n＜1342＜b_n，n∈N^*，再證明對(duì)任意的n∈N^*且n≥7時(shí)，1341＜a_n＜1342＜b_n＜1343即可說(shuō)明c的唯一性．

解答：解：（1）因?yàn)閍_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差數(shù)列，
所以a2=

a1+b1

2

=

2013

2

，b2=

a2+b1

2

=

6039

4

；
（2）依題意，對(duì)任意的正整數(shù)n，有

an+1= an+bn 2 bn+1= an+1+bn 2

⇒

an+1= 1 2 an+ 1 2 bn…① bn+1= 1 4 an+ 3 4 bn…②

，
因?yàn)?span id="0yyce0q" class="MathJye">

an+1-bn+1

an-bn

=

( 1 2 an+ 1 2 bn)-( 1 4 an+ 3 4 bn)

an-bn

=

1

4

（常數(shù)），n∈N^*，
又a₁-b₁=-2013≠0，
所以{a_n-b_n}是首項(xiàng)為-2013，公比為

1

4

的等比數(shù)列；
因?yàn)?span id="kweyaow" class="MathJye">

an+1+2bn+1

an+2bn

=

( 1 2 an+ 1 2 bn)+2( 1 4 an+ 3 4 bn)

an+2bn

=1（常數(shù)），n∈N^*，
又a₁+2b₁=4026≠0，
所以{a_n+2b_n}是首項(xiàng)為4026，公比為1的等比數(shù)列．
（3）由（2）得，

an+2bn=4026 an-bn=- 2013 4n-1

，解之，得

an=1342- 1342 4n-1 bn=1342+ 671 4n-1

，
顯然，{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，且a_n＜1342＜b_n，n∈N^*，即存在正整數(shù)c=1342，使得對(duì)任意的n∈N^*，有a_n＜1342＜b_n，
又令

1342 4n-1 ＜1 671 4n-1 ＜1

，得2^2n-2＞1342，而2¹⁰=1024，2¹²=4096，所以2n-2≥12，n≥7，即對(duì)任意的n∈N^*且n≥7時(shí)，1341＜a_n＜1342＜b_n＜1343．
所以正整數(shù)c=1342也是唯一的．
綜上所述，存在唯一的正整數(shù)c=1342，使得對(duì)任意的正整數(shù) c，使得 a_n＜c＜b_n恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合，考查利用遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．