Question

如圖,在三棱錐P—ABC中,PA=PB=PC,BC=2a,AC=a,AB=3a,點(diǎn)P到平面ABC的距離為a.

(1)求二面角PACB的大小;

(2)求點(diǎn)B到平面PAC的距離.

Answer 1

(1)解法一:如圖,由條件知△ABC為直角三角形,∠BAC=90°,因?yàn)镻A=PB=PC,所以點(diǎn)P在平面ABC上的射影是△ABC的外心,即斜邊BC的中點(diǎn)E,取AC中點(diǎn)D,連PD、DE、PE.

    因?yàn)镻E⊥平面ABC,DE⊥AC(因?yàn)镈E∥AB),所以∠PDE是二面角P-AC-B的平面角.

    tan∠PDE===,

    所以∠PDE=60°,故二面角P-AC-B的大小為60°.

    解法二:設(shè)O為BC中點(diǎn),則可證明PO⊥面ABC.

    建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(a,-a,0),B(-a,0,0),C(a,0,0),P(0,0,a),AC中點(diǎn)D(a,-a,0).

    =(-a,a,0),=(-a,a,a).

    因?yàn)锳B⊥AC,PA=PC,所以PD⊥AC.

    所以cos〈,〉即為二面角P-AC-B的余弦值.

    因?yàn)閏os〈,〉==.

    所以二面角PACB的大小為60°.

    (2)解法一:PD===a,

    所以S_△APC=·AC·PD=a².

    設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為h,

    則由V_P—ABC=V_B—APC,得S_△ABC·PE=·S_△APC·h.

    所以h=

    ==a.

   故點(diǎn)B到平面PAC的距離為a.

    解法二:點(diǎn)E到平面PAC的距離容易求得,為a,而點(diǎn)B到平面PAC的距離是其兩倍,所以點(diǎn)B到平面PAC的距離為a.