Question

 已知函數(shù).（）

（Ⅰ）當(dāng)時，求在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）當(dāng)時，，；………2分

對于[1，e]，有，∴在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，…3分

∴，.……………………………5分

（Ⅱ）令，

則的定義域為（0，+∞）.…………6分

在區(qū)間（1，+∞）上函數(shù)的圖象恒在直線下方等價于在區(qū)間（1，+∞）上恒成立. 

∵

① 若，令，得極值點，，

當(dāng)，即時，在（，+∞)上有，

此時在區(qū)間(，+∞)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有

∈(，+∞)，不合題意；………………………………………8分

當(dāng)，即時，同理可知，在區(qū)間(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合題意；………………………………………9分

② 若，則有，此時在區(qū)間(1，+∞)上恒有，

從而在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù)；……………………………………12分

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是[，].

綜合①②可知，當(dāng)∈[，]時，

函數(shù)的圖象恒在直線下方. ………………14分