Question

20.已知函數(shù)f（x）=a^x+（a＞1）.

（1）證明：函數(shù)f（x）在[－1，+∞）上為增函數(shù)；

（2）用反證法證明方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根.

Answer 1

20.

（1）證明：任取x₁、x₂∈[－1，+∞），不妨設(shè)x₁＜x₂，

 

則x₂－x₁＞0，＞1，且＞0，

∴－= （－1）＞0.

 

又∵x₁+1＞0，x₂+1＞0，

 

∴－=

 

=＞0.

 

于是f（x₂）－f（x₁）=－+－＞0，

 

故函數(shù)f（x）在[－1，+∞）上為增函數(shù).

說(shuō)明：利用函數(shù)單調(diào)性證明相應(yīng)給分.

 

（2）證法一：設(shè)存在x₀＜0（x₀≠－1），滿足f（x₀）=0

則=－，且0＜＜1，

 

∴0＜＜1，即＜x₀＜2.

 

與假設(shè)x₀＜0矛盾，故方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根.

 

證法二：設(shè)存在x₀＜0（x₀≠－1），滿足f（x₀）=0

 

（Ⅰ）若－1＜x₀＜0，則＜－2，＜1，

 

∴f（x₀）＜－1與f（x₀）=0矛盾.

 

 

（Ⅱ）若x₀＜－1，則＞0，＞0，

 

∴f（x₀）＞0與f（x₀）=0矛盾.

故方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根.