Question

（05年廣東卷）（14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長(zhǎng)為２，寬為１，、邊分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖５所示）．將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上．

（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；

（Ⅱ）求折痕的長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

解析: （Ⅰ）( i ) 當(dāng)時(shí),此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合, 折痕所在的直線方程，

( ii ) 當(dāng)時(shí)，設(shè)A點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)，

，則直線的斜率，

∵

∴，∴ ，∴

又∵折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段的中點(diǎn)）

為，

∴折痕所在的直線方程，即，

由( i ) ( ii )得折痕所在的直線方程為：

（Ⅱ）折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

由（Ⅰ）知，，∵，∴，

 

設(shè)折痕長(zhǎng)度為d，所在直線的傾斜角為，

( i ) 當(dāng)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合, 折痕的長(zhǎng)為2 ；

( ii )當(dāng)時(shí)，

設(shè)，，

時(shí)，l與線段AB相交，此時(shí)，

時(shí)，l與線段BC相交，此時(shí)，

時(shí)，l與線段AD相交，此時(shí)，

時(shí)，l與線段DC相交，此時(shí)，

∴將k所在的分為３個(gè)子區(qū)間：

①當(dāng)時(shí)，折痕所在的直線l與線段DC、AB相交，

 折痕的長(zhǎng)，

∴，

②當(dāng)時(shí)，折痕所在的直線l與線段AD、AB相交，

令，即，即，

即 ，

∵，∴解得

令， 解得  ，

故當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，

∵，，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，，

，

∴當(dāng)時(shí)， ，

③當(dāng)時(shí)，折痕所在的直線l與線段AD、BC相交，

折痕的長(zhǎng)，

 ∴，即，

綜上所述得，當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)有最大值，為．