Question

函數(shù)f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx．
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其圖象的所有對(duì)稱(chēng)軸的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把

π

4

代入函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)得f（x）

2

sin(x+

π

4

)，利用周期公式可求最小正周期，令x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z可求對(duì)稱(chēng)軸方程；

解答：解：（Ⅰ）f（

π

4

）=

cos π 2

sin π 4 +cos π 4

+2sin

π

4

=

0

2 2 + 2 2

+

2

=

2

；
（Ⅱ）由sinx+cosx≠0得x≠kπ-

π

4

（k∈Z）．
∵f（x）=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx
=

cos2x-sin2x

sinx+cosx

+2sinx
=cosx+sinx
=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期T=2π．
∵函數(shù)y=sinx的對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ+

π

2

，k∈Z，
又由x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
f（x）的對(duì)稱(chēng)軸的方程為x=kπ+

π

4

，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)求值、三角函數(shù)周期性對(duì)稱(chēng)性，屬中檔題，熟記相關(guān)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．