Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）當時，證明函數(shù)只有一個零點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略．

(2)

【解析】解：（Ⅰ）當時，，其定義域是………1分

    ∴                   ………………………2分  

    令，即，解得或．

    ，∴  舍去．                          …………………3分

    當時，；當時，．

    ∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

    ∴ 當x =1時，函數(shù)取得最大值，其值為．

    當時，，即．

    ∴ 函數(shù)只有一個零點．                      ………………………6分 

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域為

    ∴ ……………7分

    ①當時，在區(qū)間

    上為增函數(shù)，不合題意………9分

    ②當時，等價于，即

    此時的單調(diào)遞減區(qū)間為．

    依題意，得解之得．                     …………………9分

    當時，等價于，即

    此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，

    ∴     得            ………………………11分

    綜上，實數(shù)的取值范圍是

              ………………………12分

    法二：

    ①當時，

    在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……………7分

    ②當時，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

    只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，

    解得或                  ………………………11分

    綜上，實數(shù)的取值范圍是

             ………………………12分