Question

設(shè)a＞0,

(1)求證：f(x)=取得極大值和極小值的點(diǎn)各有1個;

(2)當(dāng)極大值為1,極小值為-1時(shí),求a和b的值.

Answer 1

(1)證明:f′(x)=

令f′(x)=0,即ax²+2bx-a=0.                                                     ①

∵Δ=4b²+4a²＞0,∴方程①有兩個不相等的實(shí)根,記為x₁、x₂.

不妨設(shè)x₁＜x₂,則有(1+x²)²f′(x)=a(x-x₁)(x-x₂),且a＞0,f′(x)、f(x)的變化情況如下表:

X	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)		極小值		極大值

 

由上表可見,f(x)取得極大值和極小值的點(diǎn)各有1個.

(2)解：由(1)可知兩式相加,得x₂²-x₁²=a(x₁+x₂)+2b.

又x₁+x₂=-,代入上式,

得x₂²-x₁²=a(-)+2b=0,

∴x₂²-x₁²=0,即(x₂-x₁)(x₂+x₁)=0.

而x₁＜x₂,∴x₁+x₂=0.∴b=0.代入①式,得a(x²-1)=0.

∵a＞0,∴x=±1.再代入f(x₁)或f（x₂）,得a=2.