Question

已知拋物線y=-x²+2，過(guò)其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l,使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程.

Answer 1

解:設(shè)切點(diǎn)P(x₀,-x₀²+2)(x₀＞0),

    由y=-x²+2得y′=-2x,∴k₁=-2x₀.

    ∴l(xiāng)的方程為y-(-x₀²+2)=-2x₀(x-x₀).

    令y=0，得x=.

    令x=0，得y=x₀²+2,

    ∴三角形的面積為

    S=··(x₀²+2)=.

    ∴S′=.

    令S′=0，得x₀=(∵x₀＞0),

    ∴當(dāng)0＜x₀＜時(shí)，S′＜0；

    當(dāng)x₀＞時(shí)，S′＞0.

    ∴x₀=時(shí)，S取極小值.

    ∵只有一個(gè)極值，∴x=時(shí)S最小，此時(shí)k₁=-,切點(diǎn)為(,).

    ∴l(xiāng)的方程為y-=-(x-),

    即2x+3y-8=0.