Question

1．（1）如圖，G是△ABC的重心，求證：$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）在△ABC中，若$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，求證：G是△ABC的重心．

Answer 1

分析 （1）由重心性質(zhì)，得$\overrightarrow{GA}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}）$，$\overrightarrow{GB}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$），$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$，由此能證明$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）以$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$為邊作平等四邊形AGBE，從而得到$\overrightarrow{GE}=-\overrightarrow{GC}$是公共點(diǎn)，進(jìn)而得到CG是AB邊上的中線，由此能證明G是△ABC的重心．

解答 證明：（1）∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{GA}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}）$，
$\overrightarrow{GB}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$），
$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}）$+$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$）+$\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{0}$．
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$．
（2）∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$=-$\overrightarrow{GC}$，
以$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$為邊作平等四邊形AGBE，則$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{GE}$，
∴$\overrightarrow{GE}=-\overrightarrow{GC}$是公共點(diǎn)，∴E，G，C三點(diǎn)共線，
又∵GE是平行四邊形AGBE的對(duì)角線，EG和AB的交點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
即CG是AB邊上的中線，
同理AG是BC邊上的中線，BG是AC邊上的中線，
∴G是△ABC的重心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查重心性質(zhì)及三角形重心的證明，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意重心性質(zhì)的合理運(yùn)用．