Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為線段AD₁上的中點，Q為線段PC₁上的中點．
（1）求證：DP⊥平面ABC₁D₁；
（2）求證：CQ∥平面BDP．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用正方體的性質得到AB⊥平面AA₁D₁D，得到DP⊥AB，又P為AD₁的中點，所以DP⊥AD₁，由線面垂直的判定定理證明；
（2）連BC₁，與B₁C相交于H，則QH∥PB，又CH∥PD，QH∩CH=H，利用線面平行的判定定理證明．

解答： 證明（1）因為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，-------（2分）
DP?平面AA₁D₁D，所以DP⊥AB，-------（3分）
又P為AD₁的中點，所以DP⊥AD₁，-------（4分）
AB∩AD₁=A，所以DP⊥平面ABC₁D₁---------（6分）
（2）證明：連BC₁，與B₁C相交于H，則QH∥PB，又CH∥PD，QH∩CH=H，
所以平面QHC∥平面PBD，所以CQ∥平面BDP-------（14分）

點評：本題考查了線面垂直和線面平行的性質定理和判定定理的運用；關鍵是熟練運用定理．