Question

20．①在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B；
②若滿足條件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a的△ABC有兩個(gè)，則$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{3}$；
③在等比數(shù)列{a_n}中，若其前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ+a，則實(shí)數(shù)a=-1；
④若等比數(shù)列{a_n}中a₂和a₁₀是方程x²+15x+16=0的兩根，則a₂²+2a₄a₈+a₁₀²=225，且a₆=±4．
其中正確的命題序號有①③（把你認(rèn)為正確的命題序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①在△ABC中，由sinA＞sinB，利用正弦定理可得a＞b，可得A＞B，即可判斷出正誤；
②由a＞|AB|=$\sqrt{3}$，即可判斷出正誤；
③由S_n=3ⁿ+a，可得a₁=3+a，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，利用${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，解得a，即可判斷出正誤；
④若等比數(shù)列{a_n}中a₂和a₁₀是方程x²+15x+16=0的兩根，a₂+a₁₀=-15，a₂•a₁₀=16，可得a₂²+2a₄a₈+a₁₀²=$（{a}_{2}+{a}_{10}）^{2}$，${a}_{6}={a}_{2}{q}^{4}$，a₂＜0，因此a₆=-$\sqrt{{a}_{2}{a}_{10}}$，即可判斷出正誤．

解答 解：①在△ABC中，若sinA＞sinB，利用正弦定理可得a＞b，因此A＞B，正確；
②若滿足條件C=60°，AB=$\sqrt{3}$，BC=a的△ABC有兩個(gè)，則$a＞\sqrt{3}$，因此不正確；
③在等比數(shù)列{a_n}中，若其前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ+a，可得a₁=3+a，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2•3^n-1，a₂=6，a₃=18，則6²=18（3+a），解得a=-1，因此正確；
④若等比數(shù)列{a_n}中a₂和a₁₀是方程x²+15x+16=0的兩根，∴a₂+a₁₀=-15，a₂•a₁₀=16，則a₂²+2a₄a₈+a₁₀²=$（{a}_{2}+{a}_{10}）^{2}$=225，${a}_{6}={a}_{2}{q}^{4}$，a₂＜0，因此a₆=-$\sqrt{{a}_{2}{a}_{10}}$=-4，因此不正確．
其中正確的命題序號有①③．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理、遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．