Question

設(shè){a_n}是集合{2^t+2^s|0≤s＜t,且s,t∈Z}中的所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a₁=3,a₂=5,a₃=6,a₄=9,a₅=10,a₆=12,…,

將數(shù)列{a_n}各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如下三角形數(shù)表：

3

5　6

9　10　12

—　—　—　—

—　—　—　—　—

……

（1）寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行,第五行各數(shù)；

（2）求a₁₀₀.

Answer 1

解:（1）第四行:17　18　20　24?

第五行:33　34　36　40　48?

（2）方法一:設(shè)n為a_n的下標(biāo),觀察每行第一個(gè)元素下標(biāo),三角形數(shù)表第一行第一個(gè)元素下標(biāo)為1.?

第二行第一個(gè)元素下標(biāo)為2=,?

第三行第一個(gè)元素下標(biāo)為4=,?

…?

第七行第一個(gè)元素下標(biāo)為,?

第七行第s個(gè)元素下標(biāo)為+s,該元素為2^t+2^s-1,?

據(jù)此判斷a₁₀₀所在行.?

∵＜100＜,?

∴a₁₀₀是第14行的第9個(gè)元素.?

∴a₁₀₀=2¹⁴+2^9-1=16 640.?

方法二:觀察三角形數(shù)表的排列中每行元素個(gè)數(shù)和,此數(shù)列有1+2+3+…+n=項(xiàng).?

當(dāng)n=13時(shí), =91＜100，?

n=14時(shí),=105＞100,?

故知a₁₀₀是第14行第9個(gè)數(shù).?

所以a₁₀₀=2¹⁴+2^9-1?=16 640.?

方法三:設(shè)a₁₀₀=2+2,只須確定正整數(shù)t₀,s₀.?

由于數(shù)列{a_n}中小于2的項(xiàng)構(gòu)成的子集中元素個(gè)數(shù)為C=＜100,?

滿足此式的最大整數(shù)t₀=14.?

又100-C²₁₄=s₀+1,?

∴s₀=8.?

∴a_100?=2₁₄+2⁸=16 640.