Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，焦距為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，且直線、、的斜率依次成等比數(shù)列，求△面積的取值范圍.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（0,1）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，可計(jì)算出a,b，代入即可得到橢圓方程；

（Ⅱ）聯(lián)立橢圓和直線方程，消元，得到關(guān)于x的一元二次方程，

得：

又直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數(shù)列，得到

聯(lián)立兩個(gè)式子，構(gòu)造關(guān)系式，得到

設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d,則

根據(jù)得，

從而可得△OMN面積的取值范圍為（0,1）.

試題解析：（Ⅰ）由已知得，

所以C方程：.

（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx+m(k≠0,m≠0)

聯(lián)立，消去y并整理，

得：，

則，

此時(shí)設(shè)M(，),N(，),

,

于是，

又直線OM,MN,ON的斜率依次成等比數(shù)列，

∴，

所以，

由m≠0,得，

又由得，

顯然，

設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d,則

，

故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為（0,1）.

考點(diǎn)：直線與橢圓相交的綜合試題.