Question

已知點A（-1，0）、B（1，0），直線AM與BM相交于點M，且它們的斜率之積為-2，
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）若過點N（1，1）的直線l與曲線E交于C、D兩點，且

OC

•

OD

=0，求直線l的方程．

Answer 1

（1）由題意可得：設(shè)M（x，y），
所以直線AM與直線BM的斜率分別為

y

x+1

，

y

x-1

，
因為直線AM與直線BM的斜率之積為-2，
所以

y

x+1

•

y

x-1

=-2，化簡得：x2+

y2

2

=1(y≠0)．
所以動點M的軌跡E的方程為x2+

y2

2

=1(y≠0)．
（2）根據(jù)題意可得直線l的斜率存在，所以設(shè)l：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組得：

y=kx+1-k 2x2+y2=2

?2x2+(kx+1-k)2=2
所以整理可得：（2+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0
所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：

△＞0 x1+x2= 2k(k-1) 2+k2 x1x2= (1-k)2-2 2+k2

因為

OC

•

OD

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+k（1-k）（x₁+x₂）+（1-k）²=0，
所以(1+k2)•

k2-2k-1

2+k2

+k(k-1)•

2k(1-k)

2+k2

+(1-k)2=0，
所以k2-6k+1=0解得k=3±2

2

．
所以直線l的方程y-1=(3±2

2

)(x-1)．