Question

8．在棱長為2的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，則點B到平面A₁B₁CD的距離是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B到平面A₁B₁CD的距離．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（2，2，0），D（0，0，0），A₁（2，0，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
設平面A₁B₁CD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，0，-1）$，
∴點B到平面A₁B₁CD的距離是：
d=$\frac{|\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{2\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴點B到平面A₁B₁CD的距離是$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．