Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，左、右端點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上存在兩點A和B關(guān)于直線y=2x+m對稱，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得，e=

c

a

=

3

2

，a=2，從而求得b、c的值，從而求得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為：y=-

1

2

x+b，與橢圓聯(lián)立方程組消掉y得x的二次方程，易知△＞0①，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理及中點公式可得AB中點坐標(biāo)，代入直線y=2x+m可得關(guān)于m，b的方程②，聯(lián)立①②即可求得m的范圍；

解答：解：（Ⅰ）由已知橢圓C的離心率e=

3

2

，a=2，可得 c=

3

，
所以b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為：y=-

1

2

x+b，
由

y=- 1 2 x+b x2 4 +y2=1

，得x²-2bx+2b²-2=0，△=4b²-4（2b²-2）＞0，即b²＜2①，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2b，所以線段AB中點橫坐標(biāo)為x=

x1+x2

2

=b，代入y=-

1

2

x+b，得y=

1

2

b，
由中點在直線y=2x+m上，得

1

2

b=2b+m，即

3

2

b+m=0②，
聯(lián)立①②解得-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．
故所求實數(shù)m的取值范圍為：-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查軸對稱問題，關(guān)于圓錐曲線中的軸對稱問題一般采取方程不等式法解決，即判別式大于0及中點在直線上得一方程一不等式．