Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|2x-1|．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）＜a對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）兩邊平方，去掉絕對值號，解不等式即可；（2）先求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值，進而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）|x+1|≥|2x-1|⇒x²+2x+1≥4x²-4x+1，
解得：0≤x≤2，
∴f（x）≥0的解集為{x|0≤x≤2}；
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）-（2x-1）=-x+2，（x＞\frac{1}{2}）}\\{（x+1）-（1-2x）=3x，（-1≤x≤\frac{1}{2}）}\\{-（x+1）-（1-2x）=x-2，（x＜-1）}\end{array}\right.$，
易知f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
∴a＞f（x）_max，即a＞$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道基礎(chǔ)題．