Question

已知f（x）=x²-abx+2a²．
（Ⅰ）當(dāng)b=3時(shí)，
（�。┤舨坏仁絝（x）≤0的解集為[1，2]時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；
（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)一元二次不等式的解法即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求出最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)b=3時(shí)，f（x）=x²-abx+2a²=x²-3ax+2a²，
（�。�∵不等式f（x）≤0的解集為[1，2]時(shí)，
∴1，2是方程x²-3ax+2a²=0的兩根．
∴

1+2=3a 1×2=2a2

，解得a=1．
（ⅱ）∵x²-3ax+2a²＜0，
∴（x-a）（x-2a）＜0，
∴若a＞0時(shí)，此不等式解集為（a，2a），
若a=0時(shí)，此不等式解集為空集，
若a＜0時(shí)，此不等式解集為（2a，a）．
（Ⅲ）f（2）=4-2ab+2a²＞0在a∈[1，2]上恒成立
即b＜a+

2

a

在a∈[1，2]上恒成立；   
又∵a+

2

a

≥2

a• 2 a

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=

2

a

，即a=

2

時(shí)上式取等號(hào)．
∴b＜2

2

，
實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立問題，利用基本不等式將參數(shù)進(jìn)行分類，求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．