Question

18．若函數(shù)f（x）=$\frac{a-sinx}{cosx}$在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，建立不等式，利用參數(shù)分離法進行求解即可，

解答 解：函數(shù)f′（x）=$\frac{-co{s}^{2}x-（a-sinx）（-sinx）}{co{s}^{2}x}$=$\frac{-co{s}^{2}x+asinx-si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$=$\frac{asinx-1}{co{s}^{2}x}$，
若f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0恒成立，即asinx-1≥0在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）上恒成立，
即asinx≥1，
則a≥$\frac{1}{sinx}$
∵$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{3}$，∴$\frac{1}{2}$＜sinx＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{1}{sinx}$＜2，
則a≥2
故答案為：[2，+∞）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算和轉(zhuǎn)化能力．