Question

下列幾個命題；
①

a＞0 △=b2-4ac≤0

是一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R的充要條件；
②設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，則函數(shù)f（x）與f（-x）的圖象關于y軸對稱；
③若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則φ=

π

2

+kπ（k∈Z）；
④已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；
期中正確的有（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：①，利用二次函數(shù)的性質及充分必要條件的概念及應用可判斷①；
②，構造函數(shù)y=f（x）=sinx與y=sin（-x），則函數(shù)f（x）與f（-x）的圖象關于x軸對稱，可判斷②；
③，利用定義域為R上的奇函數(shù)的性質可知f（0）=0，易得φ=

π

2

+kπ（k∈Z），可判斷③；
④，令t=sinx，則0＜t≤1，由雙鉤函數(shù)y=t+

2

t

的單調性可知，y=t+

2

t

在區(qū)間（0，1]上單調遞減，可判斷④．

解答： 解：對于①，

a＞0 △=b2-4ac≤0

是一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集為R的充要條件，故①正確；
對于②，∵y=sinx與y=sin（-x）的定義域均為R，但二者的圖象關于x軸對稱，故②錯誤；
設函數(shù)y=f（x）的定義域為R，則函數(shù)f（x）與f（-x）的圖象關于y軸對稱；
對于③，若函數(shù)y=Acos（ωx+φ）（A≠0）為奇函數(shù)，則f（0）=Acosφ=0，φ=

π

2

+kπ（k∈Z），故③正確；
對于④，∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，令t=sinx，則0＜t≤1，由雙鉤函數(shù)y=t+

2

t

的單調性可知，y=t+

2

t

在區(qū)間（0，1]上單調遞減，
∴y_min=1+

2

1

=3，即y=sinx+

2

sinx

的最小值為3，故④錯誤；
綜上所述，正確的命題為①③，
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的性質，主要考查函數(shù)的奇偶性、單調性、對稱性的綜合應用，考查二次函數(shù)的性質及充分必要條件的概念及應用，屬于中檔題．