Question

函數(shù)f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，x∈（0，1），n∈N^*．記y=f（x）的最小值為a_n，則a₁+a₂+…+a₆=

 

．

Answer 1

分析：當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=x+（1-x）=1，求出a₁=1，n≥2時(shí)，f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的最小值，求出a_n=(

1

2

)n-1，利用等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果．

解答：解：n=1時(shí)，f（x）=x+（1-x）=1，
∴a₁=1
n≥2時(shí)，f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，
f′（x）=nx^n-1-n（1-x）^n-1=n[x^n-1-（1-x）^n-1]=0
解得x=

1

2

，
當(dāng)x∈（0，

1

2

），f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1

2

）上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（

1

2

，1），f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，1）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（

1

2

）=(

1

2

)n-1，
∴a₁+a₂+…+a₆=1+

1

2

+

1

4

+…+

1

32

=

63

32

故答案為：

63

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值和等比數(shù)列求和問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而確定函數(shù)的最值，是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．