Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=n（n+2），數列{b_n}的前n項和為T_n，且有．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n，b_n；
（2）設，試判斷數列{c_n}的單調性，并證明你的結論．
（3）在（2）的前提下，設M_n是數列{c_n}的前n項和，證明：．

Answer 1

（1）解：∵S_n=n（n+2），
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
當n=1時，a₁=S₁=3滿足上式
∴a_n=2n+1
∵
∴T_n+1-T_n=2b_n-1
∴b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
∴{b_n-1}是公比為2的等比數列
∴
∴
（2）解：，數列{c_n}為遞減數列
證明：∵
=
∴數列{c_n}為遞減數列
（3）證明：∵
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n≥
令①
∴②
①-②：=
∴
∴=
∴
分析：（1）根據當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可求數列{a_n}的通項a_n，根據，可得b_n+1=2b_n-1，從而{b_n-1}是公比為2的等比數列，故可求數列{b_n}的通項b_n；
（2），數列{c_n}為遞減數列，再用作差法證明即可；
（3）根據，可得M_n=c₁+c₂+…+c_n≥，利用錯位相消法，求出右邊的和，即可證得結論．
點評：本題以數列的和為載體，考查數列的通項，考查數列的單調性，考查不等式的證明，同時考查錯位相減法求數列的和，綜合性強．