Question

4．已知A，B是單位圓O上的兩點（O為圓心），∠AOB=120°，點C是線段AB上不與A，B重合的動點．MN是圓O的一條直徑，則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{4}$，0）
• B． [-$\frac{3}{4}$，0]
• C． [-$\frac{1}{2}$，1）
• D． [-$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 先根據條件畫出圖形，由得到直線的距離公式求得O到直線AB的距離d=$\frac{1}{2}$．得到$\frac{1}{2}$≤|$\overrightarrow{OC}$|＜1，把$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$轉化為含有$|\overrightarrow{OC}|$的代數式得答案．

解答 解：如圖，
∵OA=OB=1，∠AOB=120°；
∴O到直線AB的距離d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$≤|$\overrightarrow{OC}$|＜1，
則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}$）
=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）•$\overrightarrow{OC}$+$|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$
=-1+$|\overrightarrow{OC}{|}^{2}$．
∴-$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$＜0．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范圍為[-$\frac{3}{4}$，0），
故選：A．

點評 本題平面向量的數量積運算，考查數形結合解題的方法及數學轉化思想方法，是中檔題．