Question

18．過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的右焦點F作斜率k=-1的直線交橢圓于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}與\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）當三角形AOB的面積S_△AOB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設AB：y=-x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理，通過$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}與\overrightarrow a=（1，\frac{1}{3}）$共線，即可求解橢圓的離心率．
（2）利用第一問的結果a²=3b²，設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，AB：y=-x+$\sqrt{2}$b，聯(lián)立方程組，通過韋達定理求解|AB|，O到AB距離，通過三角形的面積，即可求解橢圓方程．

解答 解：（1）設AB：y=-x+c，直線AB交橢圓于兩點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}\\ y=-x+c\end{array}\right.$，⇒b²x²+a²（-x+c）²=a²b²，
（b²+a²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{{a}^{2}c-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），與$\overrightarrow{a}$=$（1，\frac{1}{3}）$共線，
可得3（y₁+y₂）-（x₁+x₂）=0，3（-x₁+c-x₂+c）-（x₁+x₂）=0${x_1}+{x_2}=\frac{3c}{2}，{a^2}=3{b^2}，c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\frac{{\sqrt{6}a}}{3}，e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}…{6^'}$
（2）由a²=3b²，可設橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，c²=3b²-b²=2b²，$c=\sqrt{2}b$，
AB：y=-x+$\sqrt{2}$b，$\left\{\begin{array}{l}y=-x+\sqrt{2}b\\ \frac{{x}^{2}}{{3b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1\end{array}\right.$，可得：${x}^{2}+3（-x+\sqrt{2}b）^{2}=3^{2}$，
即$4{x}^{2}-6\sqrt{2}bx+3^{2}=0$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}b$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{3^{2}}{4}$，
AB的距離為：|AB|=$\sqrt{1+1}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{2}$$\sqrt{{（\frac{3\sqrt{2}b}{2}）}^{2}-4×\frac{3^{2}}{4}}$=$\sqrt{3}b$，
O到AB距離$d=\frac{{\sqrt{2}b}}=b（10分）$．
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|*d=\frac{\sqrt{3}}{2}^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}，b=1．a=\sqrt{3}$，
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1（12分）$．

點評 本題考查直線與橢圓的綜合應用，韋達定理以及弦長公式三角形面積公式的應用，考查分析問題解決問題的能力．