Question

4．函數(shù)f（x）=sinxcosx+sinx在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)的最小值是-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，根據(jù)f（x）的單調(diào)性求函數(shù)的最值．

解答 解：∵f（x）=sinxcosx+sinx，
∴f′（x）=cos²x-sin²x+cosx=2cos²x+cosx-1，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴0≤cosx≤1，
令f′（x）=0，解得cosx=$\frac{1}{2}$或cosx=-1（舍），即x=-$\frac{π}{3}$，或x=$\frac{π}{3}$，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，解的cosx＞$\frac{1}{2}$，即-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，解的0≤cosx＜$\frac{1}{2}$，即-$\frac{π}{2}$≤x＜-$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{3}$＜x≤$\frac{π}{2}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=-$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值，即f（-$\frac{π}{3}$）=sin（-$\frac{π}{3}$）cos（-$\frac{π}{3}$）+sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵f（$\frac{π}{2}$）=1，
∴函數(shù)的最小值是-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．