Question

7．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）是函數(shù)f（x）=ln|x|圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且在A，B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則x₁-x₂的取值范圍為（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，2）
• C． [1，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先通過分類討論得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=$\frac{1}{x}$，再根據(jù)切線垂直得出x₁x₂=-1，最后運(yùn)用基本不等式求最值．

解答 解：因?yàn)閒（x）=ln|x|，所以，
①x＞0時(shí)，f（x）=lnx，f'（x）=$\frac{1}{x}$，
②x＜0時(shí)，f（x）=ln（-x），f'（x）=-（-$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$，
即f'（x）=$\frac{1}{x}$，
根據(jù)題意，函數(shù)圖象在A，B兩處的切線互相垂直，
所以，f'（x₁）•f'（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，
即x₁x₂=-1，且x₁＞x₂，所以x₁＞0＞x₂，
因此，x₁-x₂=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$≥2$\sqrt{{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{1}}}$=2，
所以，x₁-x₂的取值范圍為：[2，+∞）．
故答案為：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和切線垂直的轉(zhuǎn)化，以及運(yùn)用基本不等式求最值，屬于中檔題．