Question

已知函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）記函數(shù)g（x）=10^f（x）+3x，求函數(shù)g（x）的值域；
（3）若不等式f（x）＞m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式求定義域，使對(duì)數(shù)式，指數(shù)式，分式，冪式等有意義，如x須滿足

2+x＞0 2-x＞0

．
（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性與最值的綜合應(yīng)用，外層函數(shù)是增函數(shù)而內(nèi)層函數(shù)g（x）=-x²+3x+4（-2＜x＜2），（3）分離參數(shù)根據(jù)恒成立問題利用函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)數(shù)m的取值范圍，不等式f（x）＞m有解即m＜f（x）_max，求可得函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解：（1）x須滿足

2+x＞0 2-x＞0

，∴-2＜x＜2，
∴所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，2）
（2）由于-2＜x＜2，∴f（x）=lg（4-x²），而g（x）=10^f（x）+3x，g（x）=-x²+3x+4（-2＜x＜2），
∴函數(shù)g（x）=-x²+3x+4（-2＜x＜2），
其圖象的對(duì)稱軸為x=

3

2

，∴而g(

3

2

) =

25

4

，g(-2)=-6，
所有所求函數(shù)的值域是(-6，

25

4

]
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）_max
令t=4-x²，由于-2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值為lg4．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＜lg4

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)其經(jīng)常與不等式結(jié)合考查，（3）中就是此類問題，也可以結(jié)合f（x）的是偶函數(shù)和單調(diào)性，求得f（x）的最大值．