Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點(diǎn)為F（1，0），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e==，再根據(jù)右焦點(diǎn)為F（1，0），求出c的值，就可得到a的值，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系，解出b值，則橢圓方程可知．
（II）當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于a的一元二次方程，求出x₁+x₂，x₁x₂，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，求出，的坐標(biāo)，以及，要使得為常數(shù)λ，只需要=λ，化簡(jiǎn)，可求出λ的值，當(dāng)直線(xiàn)l垂直于x軸時(shí)，同樣求出λ的值，兩個(gè)λ一致，所以在x軸上存在定點(diǎn)M，使得為常數(shù)．
解答：解：（I）由題意可知，c=1，又e==，解得a=
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（II）若直線(xiàn)l不垂直于x軸，可設(shè)l的方程為y=k（x-1）
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）=8k²+8＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=，
設(shè)M（t，0），則=（x₁-t，y₁），=（x₂-t，y₂），
=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（t+k²）（x₁+x₂）+t²+k²
=（1+k²）-（t+k²））+t²+k²
=
=
要使得=λ（λ為常數(shù)），只要=λ，
即（2t²-4t+1-2λ）k²+（t²-2-λ）=0（*）
對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，要使（*）式恒成立，只要，
解得，，
若直線(xiàn)l垂直于x軸，其方程為x=1
此時(shí)，直線(xiàn)與橢圓兩交點(diǎn)為A（1，），B（1，-）
取點(diǎn)S（，0），有=（-，），=（-，），
=-=λ
綜上所述，過(guò)定點(diǎn)F（1，0）的直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，存在定點(diǎn)M（，0），
使得=-
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓方程的求法，以及動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交時(shí)存在性問(wèn)題的解法．做題時(shí)綜合運(yùn)用了向量數(shù)量積的運(yùn)算，韋達(dá)定理的應(yīng)用．