Question

18.已知點A（2,8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）.

　�。á瘢�寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；

　　（Ⅱ）求線段BC中點M的坐標；

　�。á螅┣�BC所在直線的方程.

Answer 1

18.本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.

　　解：（Ⅰ）由點A（2,8）在拋物線y²=2px上，有8²＝2p·2,

 　　　　　解得p=16.

　　　　 所以拋物線方程為y²=32x,焦點F的坐標為（8，0）.

（Ⅱ）如圖，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點，所以F是線段AM的定比分點，且=2.

　　　設點M的坐標為（x₀,y₀）,則

　　　　　=8,=0,

     解得x₀=11,y₀=－4,

     所以點M的坐標為（11，－4）.（Ⅲ）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設BC所在直線的方程為

y+4=k（x－11）（k≠0）.

      由消x得

　　　ky²－32y－32（11k+4）=0,

      所以y₁+y₂=.

　　　由（Ⅱ）的結論得=－4,

　　　解得k=－4.

      因此BC所在直線的方程為

　　　y+4=－4（x－11）,

      即　4x+y－40=0.