Question

在銳角△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊，且a=2csinA．
（1）確定∠C的大�。�
（2）若c=，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知的等式變形為：=，并利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinA不為0，可得出sinC的值，由三角形為銳角三角形，得出C為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由c及sinC的值，利用正弦定理列出關(guān)系式，得到a=2sinA，b=2sinB，表示出三角形的周長(zhǎng)，將表示出a，b及c的值代入，由C的度數(shù)，求出A+B的度數(shù)，用A表示出B，把B也代入表示出的周長(zhǎng)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值整理后，提取2再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A為銳角，得到A的范圍，進(jìn)而確定出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可確定出周長(zhǎng)的范圍．
解答：解：（1）由a=2csinA變形得：=，
又正弦定理得：=，
∴=，
∵sinA≠0，∴sinC=，
∵△ABC是銳角三角形，
∴∠C=；
（2）∵c=，sinC=，
∴由正弦定理得：====2，
即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，即B=-A，
∴a+b+c=2（sinA+sinB）+
=2[sinA+sin（-A）]+
=2（sinA+sincosA-cossinA）+
=3sinA+cosA+
=2（sinAcos+cosAsin）+
=2sin（A+）+，
∵△ABC是銳角三角形，
∴＜∠A＜，
∴＜sin（A+）≤1，
則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是（3+，3]．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．