Question

（本小題滿分12分）

已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是， 的中點．

（1）證明：；

（2）證明：平面；

（3）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】    解法一：

    （Ⅰ）證明：因為平面，

    所以是在平面內(nèi)的射影，… 2 分

由條件可知，

所以． ………………… 4 分

（Ⅱ）證明：設(shè) 的中點為，

連接，．

因為，分別是，的中點，

所以．

又=，，

所以．

所以四邊形是平行四邊形．

所以．    …………………6 分

因為平面，平面，

所以平面． …………… 8 分

（Ⅲ）如圖，設(shè)的中點為，連接，

所以．

因為底面，

所以底面．

在平面內(nèi)，過點做，垂足為．

    連接，則．

所以是二面角的平面角．         ………………… 10 分

因為==2，

由∽，得=．

所以==．

所以==．

    二面角的余弦值是．              ………………… 12 分

解法二：

依條件可知，，兩兩垂直．

如圖，以點為原點建立空間直角坐標系．

     根據(jù)條件容易求出如下各點坐標：

，，，

，，，

，．

（Ⅰ）證明：因為，

，

所以．             ………………… 2 分

所以．

即．                                 ………………… 4 分

（Ⅱ）證明：因為，是平面的一個法向量，

且，所以．          ………6 分

又平面，

所以平面．                         ………………… 8 分

（Ⅲ）設(shè)是平面的法向量，

因為，，

由得解得平面的一個法向量．

由已知，平面的一個法向量為．    ………………… 10 分

設(shè)二面角的大小為，  則==．

    二面角的余弦值是．                  ………………… 12 分