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求證：()2+()2+…+()2=.

思路分析:觀察待證等式右邊為(1+x)2n展開(kāi)式中xn的系數(shù)，由此可想到(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n,利用同項(xiàng)系數(shù)相等進(jìn)行證明,也可用組合數(shù)的特點(diǎn)證明此等式.

證法一：已知(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n，即

(1+x)2n=()·()

右邊xn的系數(shù)為+…+.

左邊(1+x)2n展開(kāi)式中xn的系數(shù)為.

∴.

證法二：設(shè)集合A有2n個(gè)元素，令A(yù)=A1∪A2且A1∩A2=,A1、A2中各有n個(gè)元素，從集合A中任取n個(gè)元素等價(jià)于從A1、A2中取n個(gè)元素，從A1、A2中取n個(gè)元素的取法為+…+.

而從A中取n個(gè)元素的取法為

∴.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知：α，β為銳角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0．求證：α+2β=
π2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=x2+mx+n，f（-1）=-1．
（Ⅰ）求證：方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
（Ⅱ）若f（0）•f（1）＜0，求m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)x1，x2是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根，求證：2＜|x1-x2|＜
52
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)MN是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1的弦，且MN與x軸垂直，A1、A2是雙曲線的左、右頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求直線MA1和NA2的交點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若軌跡C上的點(diǎn)P滿(mǎn)足
.
OP
=λ
.
OA
+μ
.
OB
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，λ，μ∈R）
求證：λ2+μ2-
10
7
λμ為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•未央?yún)^(qū)三模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求直線ON的斜率kON；
（2）對(duì)于橢圓C上的任意一點(diǎn)M，設(shè)
OM
=λ
OA
+μ
OB
（λ∈R，μ∈R），求證：λ2+μ2=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)；又函數(shù)f（x）=asinx+3bcosx圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是x=
π
6
，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e與直線ON的斜率；
（Ⅱ）對(duì)于任意一點(diǎn)M∈C，總有等式
OM
=λ
OA
+μ
OB
成立，求證：λ2+μ2為定值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案