Question

12．如圖，半徑為1的圓O的直徑為AB，點P是圓O上一動點，角x的始邊為射線OB，終邊為射線OP，過點O作BP的垂線OE，垂足為E，延長OE交圓O于點F，過點F作OB的垂線FN，垂足為N，則|OE|+|NF|的最大值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以AB所在的直線為x軸，以AB的中點O為原點，建立直角坐標系，則由題意求得P、B、E、F、N的坐標，從而求得|OE|和|NF|的解析式，再利用正弦函數(shù)的值域，求得|OE|+|NF|的最大值．

解答 解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中點O為原點，建立直角坐標系，則由題意可得P（cosx，sinx），B（1，0）．
由于E為PB的中點，則點E（$\frac{cosx+1}{2}$，$\frac{sinx}{2}$），點F（cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{x}{2}$），N（cos$\frac{x}{2}$，0）．
∴|OE|=$\sqrt{\frac{{（cosx+1）}^{2}}{4}+\frac{{sin}^{2}x}{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2+2cosx}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{4cos}^{2}\frac{x}{2}}$=cos$\frac{x}{2}$，|NF|=$\sqrt{{sin}^{2}\frac{x}{2}}$=sin$\frac{x}{2}$，
∴|OE|+|NF|=cos$\frac{x}{2}$+sin$\frac{x}{2}$=$\sqrt{2}$sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
故|OE|+|NF|的最大值為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式，輔助角公式，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．