Question

（2008•長寧區(qū)二模）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=3，點E是棱AB上的點，當(dāng)AE=2EB時，求異面直線AD₁與EC所成角的大小，并求此時點C到平面D₁DE的距離．

Answer 1

分析：（解法一）：以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），由向量法能求出異面直線AD₁與EC所成角的大�。�
設(shè)點C到平面DED₁的距離為h，S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，由VC-DED1=VD1-DEC，能求出點C到平面D₁DE的距離．
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，則∠D₁AE′的大小即為異面直線AD₁與EC所成角的大�。�由AB=3，AE=2EB，知EB=1，DE′=1，因為AD=DD₁=1，所以AE′=D1E′=

2

，AD1=

2

，所以△AD₁E'為正三角形，由此能求出異面直線AD₁與EC所成角的大�。�
設(shè)點C到平面DED₁的距離為h，S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，由VC-DED1=VD1-DEC，能求出點C到平面D₁DE的距離．

解答：解：（解法一）：（如圖）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，AE=2，
則E（1，2，0），A（1，0，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1），C（0，3，0），---（2分）

AD1

=(-1，0，1)，

EC

=(-1，1，0)，
設(shè)

AD1

與

EC

的夾角為θ，
則cosθ=

1+0+0

2 • 2

=

1

2

，
∴θ=

π

3

，…..（5分）
從而異面直線AD₁與EC所成角的大小為

π

3

．…..（6分）
設(shè)點C到平面DED₁的距離為h，
S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，（8分）．
S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，（10分）
由VC-DED1=VD1-DEC，
得

1

3

×

5

2

h=

1

3

×

3

2

×1，
∴h=

3 5

5

．…．（12分）
（解法二）作AE'∥CE交CD于E'，
則∠D₁AE′的大小即為異面直線AD₁與EC所成角的大小．（2分）
∵AB=3，AE=2EB，
∴EB=1，
∴DE′=1，
因為AD=DD₁=1，
所以AE′=D1E′=

2

，（4分）
而AD1=

2

，
所以△AD₁E'為正三角形，
∠D1AE/=

π

3

，
從而異面直線AD₁與EC所成角的大小為

π

3

．（6分）
設(shè)點C到平面DED₁的距離為h，
S△DED1=

1

2

D1D•DE=

1

2

×1×

5

=

5

2

，（8分）．
S△DEC=

1

2

×3×1=

3

2

，（10分）
由VC-DED1=VD1-DEC
得

1

3

×

5

2

h=

1

3

×

3

2

×1，
∴h=

3 5

5

．（12分）

點評：本題考查點、線、面間距離的計算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．