Question

如圖所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，

BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.

(1)求證:AE∥平面DCF;

(2)當AB的長為何值時,二面角A—EF—C的大小為60°?

Answer 1

(1)證明略 (2) 當AB為時，二面角A—EF—C的大小為60°

解析:

方法一  （1）  過點E作EG⊥CF交CF于G，

連接DG.可得四邊形BCGE為矩形，

又四邊形ABCD為矩形，

所以AD   EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，

故AE∥DG.

因為AE平面DCF，DG平面DCF，

所以AE∥平面DCF.

（2）  過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH.

由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，

得AB⊥平面BEFC，

從而AH⊥EF，所以∠AHB為二面角A—EF—C的平面角.

在Rt△EFG中，因為EG=AD=，EF=2，

所以∠CFE=60°,FG=1,

又因為CE⊥EF,所以CF=4,

從而BE=CG=3.

于是BH=BE·sin∠BEH=.

因為AB=BH·tan∠AHB=×=，

所以當AB為時，二面角A—EF—C的大小為60°.

方法二  如圖所示,以點C為坐標原點,以CB、CF和CD所在直線分別作為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系C—xyz.

設(shè)AB=a，BE=b，CF=c，

則C（0，0，0），A（，0，a），

B（，0，0），E（，b，0），F(xiàn)（0，c，0）.

（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），

所以·=0，·=0，從而CB⊥AE，CB⊥BE.

AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.

因為CB⊥平面DCF，

所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.

故AE∥平面DCF.

（2）因為=（-，c-b，0），=（，b，0）.

·=0，||=2，

所以  解得

所以E（，3，0），F(xiàn)（0，4，0）.

設(shè)n=(1,y,z)與平面AEF垂直，

則n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.

又因為BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），

所以|cos〈n, 〉|=

解得a=.

所以當AB為時，二面角A—EF—C的大小為60°.