Question

已知兩定點，，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A，B兩點 如果，且曲線E上存在點C，使，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：由雙曲線的定義可知曲線E的方程，將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達定理可確定k的范圍，利用弦長公式，可求k的值，根據(jù)，可得點C的坐標代入曲線E的方程，即可得到結論．
解答：解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點的雙曲線的左支，且，
所以b=1．
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
由已知得，，解得．
∵==6．
即28k⁴-55k²+25=0，∴或．
又∵，∴．
故，．
設C（x_c，y_c），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c），且m≠0．
∴，即C（）．
將點C的坐標代入曲線E的方程，得，∴m=±4．
但當m=-4時，點C不在曲線E上，不合題意．
∴m=4．
點評：本題考查雙曲線的定義，考查直線與雙曲線的位置關系，考查弦長公式的運用，考查向量知識，屬于中檔題．